*Démonstration de l'équation du champs de Vitesse (MRUA) - Mécanique Générale  - Difficulté :*

 
Soit y = f(t) la trajectoire d'un objet lancé du haut d'une tour avec une vitesse inititiale Vo. Le frottement de l'air est négligé (Cx et S négligeable). On sait d'après Newton que l'attraction terrestre va soumettre cet objet à une accélération constante, que l'on nomme g=9.81m/s².
Nous utiliserons le système cartésien classique d'axes orthonormés (cf mes démonstrations élémentaires pour explication)pour poser l'équation fondamentale de Newton (version différentielle) OY orienté positivement vers le haut.
 
D'après la théorie physique a (ici g)=dv/dt et v=dy/dt et en respectant les sens de y (OY) et de g , on peut poser de facon évidente que :
 
d²y/dt² = - g
 
On montre que la solution générale de cette équation différentielle de second ordre est deux fois intégrable sur un domaine continu, dès lors la double intégrale sur y donne comme solution :

y = ∫∫ d²y = ∫∫ -g dt²

y = -g/2 * t² +C1 *t +C2 (1) 
 
cette solution est obtenue en réalisant deux intégrales élémentaires successives en dt 
C1 et C2 étant les constantes d'intégration des deux intégrales successives...
 
D'après l'hypothèse de base, au temps t=to, notre objet se trouve en haut de la tour et donc sa vitesse initiale est connue, ce qui signifie physiquement que....
y (t=to) =h (hauteur de la tour)
la  dérivée y' , en t=to = Vo (Vitesse initiale)  =>  y'(t=to)=Vo (2)
 
Dès lors en introduisant (2) dans (1) au temps t=0 il suit que C2 =h et que y'=  -g*t +C1, ce qui signifie en t=o que C1 = Vo
 
Dès lors l'équation du champs de vitesse avec position s'écrit...
 
y =  h + Vo*t - gt²/2


y : repère vertical de référence (en m)
h : hauteur du laché avec ou sans Vo (en m)
Vo : Vitesse initiale (en m/s) orientée suivant oy positivement
t : temps en seconde
g : attraction terrestre (accélération a) en m/s²
 

 

*Démonstration simplifiée de la relation d'Einstein E=MC² -Mécanique Relativiste - Difficulté : *****

En mécanique général (dynamique), on sait que la relation fondamentale s'exprime par ∑F=M*a

∑F : Somme des forces s'appliquant sur un objet en repère galiléen (en N)

ou M est la masse de l'objet (en kg) et a l'accélération (en m/s²)

La masse se conserve en mécanique générale et donc M=Mo

En mécanique relativiste (vitesse proche de la vitesse de la lumière), il faut supposer que M= α*Mo (la masse ne se conserve pas en mécanique relativiste)

ou α =M/Mo avec M , la masse réel de l'objet et Mo, la masse initiale de l'objet au repos... étant donné qu'on suppose la conversion de masse en vitesse et sa réciproque... (non conservation de la loi de Lavoisier bien entendu), donc ∑F est invariant dans le cadre d'une transformée de Lorentz (Lorentz et non plus Galilée)

W = F * e et donc dW/dt = F* V (aussi appellé communément Théorème des travaux virtuels si on l'applique sur un corps) comme V=de/dt (physique général)

W : travail ou énergie E en Joule - F : Force en Newton - e : déplacement en mètre - V : vitesse en m/s - d est la variation de l'équation différentielle

on a que dW/dt  = F*V et donc que dW = F*V*dt

On sait (physique général) que dp = F dt = d(MV)

ou dp est la quantité de mouvement en Ns

On obtient donc que dW = V d(MV) en supposant un transfer de masse en vitesse et réciproquement

dW = V (dMV + MdV) car  d(MV) = dMV + MdV  (Mathématique général)

dW = V² dM + MVdV

Si M=αMo comme supposé, il suit que :

le problème réside ici, il faut connaitre le coefficient α qui exprime la relation entre dM et dV,

il faut ici supposer instinctivement (Relation logique  Masse-Vitesse) que la relation est du type α = 1/( (1 - v^a/c^a))^b avec a et b des constantes inconnues et pourquoi donc, me direz vous ? et bien parce que les Transformées mathématiques de Lorentz (et non plus galiléennes) sont du type  α= 1/ (1-B²)^1/2 et donc il faut essayer qqch dans ce style, pas très convainquant de premier abord mais les rapports des carrés des  vitesses sont en plus  instinctivement logiques... en effet on mesure le rapport énergétique par rapport à une vitesse C=3*10E8m/s limite  (vitesse de la lumière) , il  est donc physiquement logique d'exploiter le rapport V/C

   ... il vient ensuite d'essayer logiquement a=1 b=a , a=2 b=1/a , a=3 b=1/a... vous me direz!  Oui mais ca c'est fort!, ici il faut impérativement trouver une relation instinctive logique entre M  et V en suivant la théorie du transfer M->V et V->M , appliquons la transformée de Lorentz (Cours de Calcul Différentiel 2ème candi Polytechnique) . Si on fait l'essai avec a=2, on trouve que α = 1/((1-V²/C²)^1/2....

On a une classe de solutions compatibles sur base du Modéle Mathématique et de notre intuition physique ...

On part du principe qu'on ne connait pas le relation M=f(V) , avec toute les possibilités d'une équation assez générale, on peut vérifier expérimentalement via Synchrotron que le modèle exposé ci-dessus colle le plus  à la réalité , la modélisation mathématique  colle à la réalité... cette équation général en a et b est instinctivement logique... Dès lors dM = dαMo avec Mo constant

dM =  Modα avec dM = Mod(1/((1-V²/C²)^1/2)

Après résolution d'une intégrale élémentaire (à venir) et expression de dM en fonction de dv , il suit que : M=Moα^3*V/C² dV

si on injecte Mo* α *dV dans le second membre de dW (MVdV), on obtient :

MVdV = C²/α²dM....

Notre équation générale s'écrit donc dW= v²dM + C²/α² dM = C²dM

et donc W= ∫ dW = ∫ C² dM = C²M

W = E = MC²

Cette relation simple est excessivement compliquée à démontrer en réalité... ce n'est que la version simplifiée ou on suppose physiquement et mathématiquement  α, ...

E est l'énergie (en Joule) - M est la masse (en Kg) et C la vitesse, ici la vitesse de la lumière

*Démonstration de la loi de Gauss (régissant les modèles statistiques) Difficulté :***(*)
 

On se propose ici de résoudre l'intégrale dite de Gauss :

A ce titre , j'ajouterais qu'autre l'aspect mathématique , le tableau démontré ci-dessous permet de calculer aisément par exemple la probabilité de durée de vie des ongles artificielles ,  d'une lampe ou encore l'échantillonage des obèses, des grands....etc. Bref une loi fondamentale à savoir appliquer, ici nous nous proposons de la démontrer, l'application se fait par un module de 10 heures de cours que j'ai ellaboré.

Cette intégrale est la plus complexe en résolution immédiate car elle nécessite des artifices de calcul et la notion de Jacobien, il est impossible au stade de la rhéto de résoudre cette intégrale que l'on propose souvent sous forme inutile avec un "x" mutiplicatif dans l'intégrale qui permet de réaliser le changement de variable immédiat ;hélas avec le "x" , elle sert à que dalle en pratique... ce qui donne:

Z = ∫ x*e^(x²)dx qui sert à que dalle à part se brosser les dents...

Tout d'abord, soulignons que l'intégrale ci-dessous vient du théorème centrale limite (Théorème à la base de la théorie des probabilité) il suppose dans ce cadre précis une répartition symétrique de moyenne centrée, ce qui n'est pas le cas de toutes les lois découlant de ce théorème fondamental, par ailleurs je précise d'entrée pour les mathématiciens que la moyenne est centrée et vaut 0 ici , l'écart-type est unitaire, si ce n'est pas le cas dans une application classique il suffit de réaliser un changement de variable et de revenir à la forme centrée réduite pour trouver les valeurs de probabilités adaptées  

Désignons par D le quart de plan défini par x 0, y 0 et considérons l'intégrale double

dont nous admettons l'existence (il s'agit en fait du théorème de Fubini (seconde candidature Polytechnique de Mons) (attention aux mauvaises copies de mes démonstrations qui circulent, Grand Maitre Brison)). C’est à dire que l’on peut écrire :

 

 

 

En application du changement de variables dans une intégrale double et de la notion de jacobien (1ère candi polytechnique), on peut passer en coordonnées polaires en posant x = r.cost et y = r.sint avec r positif et t élément de [0,p/2].

Explication du Jabobien (ou déterminant) de transformation par Maître Ingénieur Brison ( www.ingbrisong.be ) : il s'agit d'un dispositif matriciel permettant de passer de R²(2D) en coordonnées polaires, une adaptation de la métrique si l'on veut pour passer de la métrique d'un monde à un autre en suivant ce schéma :  Le monde de R² ici vers une fonction polaire de (r,t) avec la matrice Jacobienne et son déterminant de transformation associé (ce dispositif démontré par Charles Jacobi permet simplement , un peu comme en cosmologie, de passer d'un espace dimensionnel à un autre; l'exemple est néanmoins mal choisi puisqu’ici la matrice est carrée et par conséquent il n'y a pas de changement de dimension lors de ce passage si on le compare à la cosmologie mais l'idée y est présente et est une excellente approche pour la compréhension; il existe bien l'équivalent de ce genre de matrice en cosmologique branaire mais elles ne sont évidemment pas carrées). Un ingénieur de mon rang ne saurait vous faire rêver s'il ne dégageait l'âme des princes : "Les scientifiques étudient notre monde ; nous, les ingénieurs étudions un monde qui n'a jamais existé, et pour le plus grand confort des utilisateurs c'est à dire vous qui nous lisez; au fonds, j'ai interrompu la démonstration de Gauss ici par mes magies de génie mathématique et que finalement Gauss lui-même aurait désiré tout comme moi, continuons mes chers apprentis :

 

Le jacobien de transformation est alors celui de la fonction (r, t) (rcos t, rsin t), soit :

Puisque x² + y² = r², car cos²t + sin²t = 1, l’intégrale double devient :

où K est le domaine équivalent à D en coordonnées polaires, donc défini par r positif et t élément de [0,p/2]. Ainsi :

d'où :

et par suite, G, l’intégrale de Gauss de 0 à l'infini , vaut .

• Si l'on intègre e^-x²/2 sur R tout entier, donc de moins l'infini à plus l'infini,  alors, par parité, on trouve un résultat double : Gt = 2G =  et Gt/=1

D'après Kolmogorov (probabilité générale), on sait que P(somme des x) = 1 ou P est la probabilité de l'ensemble des évênements (Ω)  Ω=P(x) = 1 = Gt / (assimilation et extension de la fonction mathématique à la théorie des probabilités selon les modélisations mathématiques du Grand Maître Ingénieur Brison G.)

 

si on trace par ordinateur le tracé de la fonction de probabilité P(x) en fonction de x, il suit les valeurs de la table de Gauss  pour x variant de 0 à plus l'infini. (ou de moins l'infini à 0 par symétrie)

 

1. Exemple centré réduit: on demande P(x=-0.24) 

P(x=0.24) = 0.5948 (cf tableau, c'est à dire 0.5948 σx ou 'L' ici sur le graphe))

p(x=-0.24)= 1 -p(x=0.24) = 1- 0.5948= 0.4052

2.Exemple non centré et non réduit :  Sur 60 clientes , calculer la probabilité qu'une pose d'ongle tienne 4semaines si 3 clientes sont revenues la première semaine, 12 la seconde, 27 la troisième, 13 la quatrième, 3 la  5ème semaine et 2 la 6ème semaine. Déduire un temps optimal de pose fonction du cout de pose (pose=40€). 

Ing. Brison G., Master in Sciences & Communication

 

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